روشی جدید برای رتبه بندی اعداد فازی تعمیم یافته از نوع L-R

نظریه مجموعه‌های فازی (زاده 1965) ابزار قدرتمندی برای مقابله با موقعیت‌های زندگی واقعی است. اعداد حقیقی را می‌توان به صورت خطی با ≥ یا ≤ مرتب کرد، با این حال این نوع نابرابری در اعداد فازی وجود ندارد. از آنجا که اعداد فازی با توزیع احتمال نشان داده می‌شوند، آن‌ها می‌توانند با یکدیگر همپوشانی داشته باشند و تعیین بزرگ‌تر یا کوچک‌تر بودن اعداد فازی به وضوح دشوار است. روشی کارآمد برای مرتب سازی اعداد فازی استفاده از تابع رتبه بندی است که در آن مجموعه‌ای از اعداد فازی تعریف شده در خط واقعی است، که هر عدد فازی را در خط واقعی ترسیم می‌کند، که در آن نظمی طبیعی وجود دارد. بنابراین، رتبه بندی خاص اعداد فازی روشی مهم برای تصمیم گیری در محیط فازی است و به طور کلی به یکی از مشکلات اصلی در نظریه مجموعه فازی تبدیل شده است. روش رتبه بندی برای اولین بار توسط جین (1976) پیشنهاد شد. یاگر (1981) چهار شاخص را پیشنهاد کرد که ممکن است به منظور مرتب کردن مقادیر فازی به کار آیند. در کافمن و گوپتا (1988)، رویکردی برای رتبه بندی اعداد فازی ارائه می‌شود. کامپوس و گونزالس (1989) رویکردی ذهنی برای رتبه بندی اعداد فازی ارائه کردند. لیو و وانگ (1992) روش رتبه بندی بر اساس شاخص مقدار انتگرال را ایجاد کردند. چنگ (1998) روش رتبه بندی اعداد فازی با استفاده از روش فاصله را معرفی کرد. کوانگ و لی (1999) توزیع احتمال کلی اعداد فازی در ارزیابی‌های خود را در نظر گرفته و روش رتبه بندی را ارائه کردند. مدرس و سعدی نژاد (2001) روش رتبه بندی بر اساس تابع اولویت را پیشنهاد کردند که اعداد فازی را به صورت نقطه به نقطه اندازه گیری می‌کند و در هر نقطه اعداد ارجح مشخص می‌شوند. چو و تسو (2002) روشی برای رتبه بندی اعداد فازی با فضایی بین نقطه مرکزوار و نقطه اصلی ارائه کردند. دنگ و لیو (2005) روش شاخص مرکزوار برای رتبه بندی اعداد فازی را ارائه کردند. لیانگ، وو، و ژانگ (2006) و وانگ و لی (2008) نیز از مفهوم مرکز سطح (مرکز وار) در ایجاد شاخص رتبه بندی استفاده کردند. چن و چن (2007) روشی برای رتبه بندی اعداد فازی تعمیم یافتهٔ ذوزنقه‌ای معرفی کردند. عباس بندری و هاجری (2009) برای رتبه بندی اعداد فازی ذوزنقه‌ای بر اساس اسپرد چپ و راست در برخی از سطوح اعداد فازی ذوزنقه‌ای روش جدیدی را معرفی کردند. چن و چن (2009) روشی را برای تحلیل ریسک فازی بر اساس رتبه بندی اعداد فازی تعمیم یافته با ارتفاع‌ها و اسپرد های مختلف ارائه کردند. در این مقاله، با استفاده از چند نمونه مخالف نشان داده می‌شود که روش رتبه بندی پیشنهاد شده توسط چن و چن (2009)نادرست است. هدف اصلی این مقاله ارائه روشی جدید برای رتبه بندی اعداد فازی تعمیم یافته از نوع L-R است. نشان داده می‌شود که رتبه بندی اعداد فازی تعمیم یافته از نوع L-R به ارتفاع عدد فازی بستگی ندارد. مزیت اصلی روش ارائه شده این است که روش پیشنهادی ترتیب صحیحی از اعداد فازی تعمیم یافته و طبیعی ارائه می‌کند و همچنین اعمال روش ارائه شده در مشکلات زندگی واقعی بسیار ساده و آسان است. این مقاله به شرح زیر سازماندهی می‌شود: در بخش 2، برخی از تعاریف، عملیات محاسباتی و تابع رتبه بندی اولیه مورد بررسی قرار می‌گیرد. در بخش 3، در مورد کمبودهای روش چن و چن (2009)بحث می‌شود. در بخش 4، روش جدیدی برای رتبه بندی اعداد فازی تعمیم یافته از نوع L-R ارائه می‌شود. در بخش 5، ترتیب صحیح اعداد فازی به دست می‌آید و نشان داده می‌شود که روش ارائه شده تمام ویژگی‌های مناسب مقادیر فازی را برآورده می‌سازد. نتیجه گیری در بخش 6 به بحث گذاشته می‌شود.

Fuzzy set theory (Zadeh, 1965) is a powerful tool to deal with real life situations. Real numbers can be linearly ordered by ⩾ or ⩽, however this type of inequality does not exist in fuzzy numbers. Since fuzzy numbers are represented by possibility distribution, they can overlap with each other and it is difficult to determine clearly whether one fuzzy number is larger or smaller than other. An efficient approach for ordering the fuzzy numbers is by the use of a ranking function R:F(R)→RR:F(R)→R, where F(R) is a set of fuzzy numbers defined on real line, which maps each fuzzy number into the real line, where a natural order exists. Thus, specific ranking of fuzzy numbers is an important procedure for decision-making in a fuzzy environment and generally has become one of the main problems in fuzzy set theory. The method for ranking was first proposed by Jain (1976). Yager (1981) proposed four indices which may be employed for the purpose of ordering fuzzy quantities in [0, 1]. In Kaufmann and Gupta (1988), an approach is presented for the ranking of fuzzy numbers. Campos and Gonzalez (1989) proposed a subjective approach for ranking fuzzy numbers. Liou and Wang (1992) developed a ranking method based on integral value index. Cheng (1998) presented a method for ranking fuzzy numbers by using the distance method. Kwang and Lee (1999) considered the overall possibility distributions of fuzzy numbers in their evaluations and proposed a ranking method. Modarres and Sadi-Nezhad (2001) proposed a ranking method based on preference function which measures the fuzzy numbers point by point and at each point the most preferred number is identified. Chu and Tsao (2002) proposed a method for ranking fuzzy numbers with the area between the centroid point and original point. Deng and Liu (2005) presented a centroid-index method for ranking fuzzy numbers. Liang, Wu, and Zhang (2006) and Wang and Lee (2008) also used the centroid concept in developing their ranking index. Chen and Chen (2007) presented a method for ranking generalized trapezoidal fuzzy numbers. Abbasbandy and Hajjari (2009) introduced a new approach for ranking of trapezoidal fuzzy numbers based on the left and right spreads at some α-levels of trapezoidal fuzzy numbers. Chen and Chen (2009) presented a method for fuzzy risk analysis based on ranking generalized fuzzy numbers with different heights and different spreads. In this paper, with the help of several counter examples it is shown that ranking method proposed by Chen and Chen (2009) is incorrect. The main aim of this paper is to propose a new approach for the ranking of L–R type generalized fuzzy numbers. It is shown that the ranking of L–R type generalized fuzzy numbers does not depend upon the height of fuzzy number. The main advantage of the proposed approach is that the proposed approach provide the correct ordering of generalized and normal fuzzy numbers and also the proposed approach is very simple and easy to apply in the real life problems. This paper is organized as follows: In Section 2, some basic definitions, arithmetic operations and ranking function are reviewed. In Section 3, the shortcomings of Chen and Chen (2009) approach is discussed. In Section 4, a new approach is proposed for the ranking of L–R type generalized fuzzy numbers. In Section 5, the correct ordering of fuzzy numbers are obtained and also it is shown that the proposed approach satisfies all the reasonable properties of fuzzy quantities. The conclusion is discussed in Section 6.